בגרות 482 קיץ 2023 מועד ב׳ – שאלה 3חקירת פונקציות טריגונומטריות 571 · שיעור 33
בגרות 482 · קיץ 2023 מועד ב׳ · שאלה 3
שיעור 33 – בגרות 482 קיץ 2023 מועד ב׳ – שאלה 3
פרק 3 – 10 בגרויות 482: חקירת פונקציה טריגונומטרית (שאלה 3)
1נוסח השאלה
2סעיף א – נקודות קיצון
3סעיף ב – סקיצה
4סעיף ג – משוואת המשיק
5סעיף ד – שטח
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = 1 + x − sin(2x) , המוגדרת בתחום 0 ≤ x ≤ π .
א. מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) , וקבעו את סוגן.
ב. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x) .
ג. מצאו את משוואת הישר המשיק לגרף הפונקציה f(x) בנקודה שבה x = π4 .
📄 נוסח השאלה · המשך
ד. מצאו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x) , על ידי הישר המשיק שאת משוואתו מצאתם בסעיף ג ועל ידי ציר ה־y (בתחום הנתון המשיק פוגש את גרף הפונקציה רק בנקודת ההשקה).
סעיף א – נקודות קיצון
הנגזרת – גוזרים כל איבר בנפרד:
הנגזרת של 1 היא 0, והנגזרת של x היא 1.
📐 נגזרת של קבוע
[sin(2x)]′ = 2cos(2x)
📐 נגזרת של סינוס (פונקציה מורכבת)
f′(x) = 1 − 2cos(2x)
משווים את הנגזרת ל־0:
1 − 2cos(2x) = 0
📐 נקודת קיצון
📐 נגזרת של קבוע
הנגזרת של מספר קבוע (גם של פרמטר) היא 0
📐 נגזרת של סינוס (פונקציה מורכבת)
[sin(ax)]′ = a · cos(ax)
📐 נקודת קיצון
בנקודת קיצון פנימית f′(x) = 0
סעיף א – נקודות קיצון · המשך
1 − 2cos(2x) = 0
📐 נקודת קיצון
−2cos(2x) = −1
cos(2x) = 12
הזווית שהקוסינוס שלה 12 היא π3 (כמו 60 מעלות). הזווית כאן היא 2x :
2x = π3 + 2πk
📐 פתרון המשוואה cos x = cos t
2x = −π3 + 2πk
📐 נקודת קיצון
בנקודת קיצון פנימית f′(x) = 0
📐 פתרון המשוואה cos x = cos t
x = t + 2πk
x = −t + 2πk
x = −t + 2πk
סעיף א – נקודות קיצון · המשך
2x = −π3 + 2πk
מחלקים ב־2 כל משפחה:
x = π6 + πk
x = −π6 + πk
מחפשים פתרונות בתחום 0 ≤ x ≤ π . מהמשפחה הראשונה עם k = 0 , ומהשנייה עם k = 1 :
x = π6 , x = −π6 + π = 5π6
סעיף א – נקודות קיצון · המשך
x = π6 , x = −π6 + π = 5π6
ערכים אחרים של k נותנים x מחוץ לתחום (למשל π6 + π = 7π6 גדול מ־π).
קביעת סוג הנקודות – נציב בנגזרת מספר מכל תחום:
f′(π12) = 1 − 2cos π6
f′(π12) = 1 − √3 ≈ −0.73 < 0
f′(π2) = 1 − 2cos π = 3 > 0
סעיף א – נקודות קיצון · המשך
f′(π2) = 1 − 2cos π = 3 > 0
f′(11π12) = 1 − 2cos 11π6
f′(11π12) = 1 − √3 ≈ −0.73 < 0
שיעור ה־y של כל נקודה – מציבים בפונקציה עצמה. נכתוב את הפונקציה:
f(x) = 1 + x − sin(2x)
סעיף א – נקודות קיצון · המשך
f(x) = 1 + x − sin(2x)
נציב x = 0 :
f(0) = 1 + 0 − sin(2 · 0)
f(0) = 1 + 0 − 0 = 1
נציב x = π6 :
f(π6) = 1 + π6 − sin(2 · π6)
סעיף א – נקודות קיצון · המשך
f(π6) = 1 + π6 − sin(2 · π6)
sin π3 = √32
📐 ערך מיוחד
f(π6) = 1 + π6 − √32 ≈ 0.66
נציב x = 5π6 :
f(5π6) = 1 + 5π6 − sin(2 · 5π6)
הזווית 5π3 היא 2π − π3 , ולכן:
📐 ערך מיוחד
sin π3 = √32
סעיף א – נקודות קיצון · המשך
הזווית 5π3 היא 2π − π3 , ולכן:
sin 5π3 = sin(−π3) = −√32
📐 זווית נגדית
f(5π6) = 1 + 5π6 + √32 ≈ 4.48
נציב x = π :
f(π) = 1 + π − sin(2π)
f(π) = 1 + π − 0 ≈ 4.14
📐 זווית נגדית
sin(−x) = −sin x
סעיף א – נקודות קיצון · המשך
f(π) = 1 + π − 0 ≈ 4.14
✅ פתרון סופי:
מקסימום קצה: (0 , 1)
מינימום: (π6 , 1 + π6 − √32) , בערך (π6 , 0.66)
מקסימום: (5π6 , 1 + 5π6 + √32) , בערך (5π6 , 4.48)
מינימום קצה: (π , 1 + π) , בערך (π , 4.14)
מקסימום קצה: (0 , 1)
מינימום: (π6 , 1 + π6 − √32) , בערך (π6 , 0.66)
מקסימום: (5π6 , 1 + 5π6 + √32) , בערך (5π6 , 4.48)
מינימום קצה: (π , 1 + π) , בערך (π , 4.14)
סעיף ב – סקיצה
מסמנים את הנקודות מסעיף א: (0 , 1) , (π6 , 0.66) , (5π6 , 4.48) , (π , 4.14) .
החיתוך עם ציר y הוא (0 , 1) . הערך הקטן ביותר של הפונקציה הוא בערך 0.66 – חיובי, ולכן אין חיתוך עם ציר x .
מחברים לפי הציר: יורדת, עולה, יורדת.
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה
סעיף ג – משוואת המשיק
שיעור ה־y של נקודת ההשקה – נציב x = π4 בפונקציה:
f(x) = 1 + x − sin(2x)
f(π4) = 1 + π4 − sin(2 · π4)
f(π4) = 1 + π4 − sin π2
f(π4) = 1 + π4 − 1 = π4
נקודת ההשקה היא (π4 , π4) .
סעיף ג – משוואת המשיק · המשך
נקודת ההשקה היא (π4 , π4) .
שיפוע המשיק – נציב x = π4 בנגזרת:
f′(x) = 1 − 2cos(2x)
f′(π4) = 1 − 2cos(2 · π4)
f′(π4) = 1 − 2cos π2 = 1
משוואת המשיק:
סעיף ג – משוואת המשיק · המשך
משוואת המשיק:
y − y1 = m(x − x1)
📐 משוואת משיק
נציב x1 = π4 , y1 = π4 , m = 1 :
y − π4 = 1(x − π4)
y − π4 = x − π4
y = x
📐 משוואת משיק
y − y1 = m(x − x1)
m = f′(x1)
m = f′(x1)
סעיף ג – משוואת המשיק · המשך
y = x
✅ פתרון סופי: y = x
סעיף ד – שטח
השטח נמצא בין ציר y , שהוא הישר x = 0 , לבין נקודת ההשקה x = π4 , בין הגרף לבין המשיק y = x :
מי למעלה? בנקודה x = 0 הגרף נותן 1 והמשיק נותן 0. לכן בתחום הזה הגרף f(x) הוא העליון והמשיק הוא התחתון.
השטח הוא האינטגרל של ההפרש בין העליון לתחתון.
📐 שטח בין שני גרפים
ההפרש בין הגרף למשיק:
f(x) − x = 1 + x − sin(2x) − x
📐 שטח בין שני גרפים
S = ∫ba[f(x) − g(x)] dx
f(x) – הגרף העליון , g(x) – הגרף התחתון
f(x) – הגרף העליון , g(x) – הגרף התחתון
סעיף ד – שטח · המשך
f(x) − x = 1 + x − sin(2x) − x
f(x) − x = 1 − sin(2x)
S = ∫π40(1 − sin(2x)) dx
פונקציה קדומה של כל איבר:
📐 פונקציה קדומה
∫(−sin(2x)) dx = 12cos(2x) + C
נקרא לפונקציה הקדומה G(x) :
📐 פונקציה קדומה
∫k dx = kx + C
∫sin(ax) dx = −1acos(ax) + C
∫sin(ax) dx = −1acos(ax) + C
סעיף ד – שטח · המשך
נקרא לפונקציה הקדומה G(x) :
G(x) = x + 12cos(2x)
S = G(π4) − G(0)
נציב x = π4 (הגבול העליון):
G(π4) = π4 + 12cos(2 · π4)
G(π4) = π4 + 12cos π2 = π4
סעיף ד – שטח · המשך
G(π4) = π4 + 12cos π2 = π4
נציב x = 0 (הגבול התחתון):
G(0) = 0 + 12cos(2 · 0)
G(0) = 0 + 12 · 1 = 12
השטח = הגבול העליון פחות הגבול התחתון:
S = π4 − 12 ≈ 0.29
סעיף ד – שטח · המשך
S = π4 − 12 ≈ 0.29
✅ פתרון סופי: S = π4 − 12 ≈ 0.29
📌 סיכום התשובות
סעיף א
מקס. קצה (0 , 1) , מינ. (π6 , 0.66) , מקס. (5π6 , 4.48) , מינ. קצה (π , 4.14)
סעיף ב
סקיצה
סעיף ג
y = x
סעיף ד
S = π4 − 12 ≈ 0.29
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא